VeranstalterInnen: Prof. Dr. Angela Kunoth, Christian Mollet
Vorlesung:
Montag, 14:00 - 15:30 Uhr, Hörsaal des Math. Inst.
Freitag, 12:00 - 13:30 Uhr, Hörsaal des Math. Inst.
Übung:
Donnerstag, 16:00 - 17:30 Uhr, Cohn-Vossen Raum (313) des Math. Inst.
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Inhalt:
Nicht nur aufgrund massiv gestiegener Rechnerleistungen können numerische
Simulationen für immer komplexere Probleme angegangen werden. Insbesondere
neuartige, meist auf Multiskalenformulierungen basierende Algorithmen haben in
den letzten Jahren deutliche Effizienzsteigerungen bewirken können.
Die Vorlesung zielt auf den Einsatz solcher modernen Verfahren zur
Simulation unterschiedlicher Probleme, die durch partielle
Differentialgleichungen (partial differential equations, PDEs)
beschrieben werden können.
Das erste Drittel der Vorlesung wird finanzmathematische Probleme des
Option-Pricing behandeln, die mittels verallgemeinerter
Black-Scholes-Gleichungen modelliert werden. Speziell werden moderne
Multilevel-basierte Methoden
zur Valuation amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität
diskutiert, die auf Finite-Elemente-Ansätze für freie Randwertprobleme einer
parabolischen partiellen Differentialgleichung führen.
Das zweite Drittel befasst sich mit stationären nichtlinearen
elliptischen PDEs und deren Lösung mittels adaptiver Waveletmethoden.
Wir werden uns der Konvergenzanalyse und dem Beweis der optimalen Komplexität
solcher Methoden widmen. Letzteres erfordert neuartige algorithmische
Konzepte wie die approximative Anwendung nichtlinearer Operatoren in Waveletbasen.
Darauf aufbauend werden im letzten Drittel der Vorlesung die immer
wichtiger werdenden PDE-beschränkten Kontrollprobleme behandelt. Hierbei
handelt es sich um Optimierungsprobleme, die unter PDE-Nebenbedingungen
zu lösen sind. Wir werden uns schließlich mit solchen Kontrollproblemen
befassen, bei denen die zugrundeliegende PDE stochastische Koeffizienten
haben kann. Die effiziente numerische Behandlung solcher Probleme erfordert
grundsätzlich neue mathematische Techniken über Karhunen–Loève-Entwicklungen.
Begleitend zur Vorlesung wird ein Seminar angeboten. Die erfolgreiche
Teilnahme an einem Seminar im Masterstudium bei Prof. Kunoth ist Voraussetzung
für die Vergabe eines Masterarbeitsthemas in der AG Kunoth.
Vorkenntnisse:
Numerik I/II, Numerik partieller Differentialgleichungen I
(speziell Variationsformulierungen elliptischer PDEs und Finite Elemente).
Vorkenntnisse der Numerik partieller Differentialgleichungen II
(Multigrid- und Waveletmethoden) sind hilfreich, aber nicht notwendig.
Bei Bedarf werden entsprechende Vorlesungsskripte bereitgestellt
Literatur:
Originalarbeiten
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Aktuelles:
- Die erste Übung findet am 19.11. statt
- Am 30.10. hält Christian Mollet einen Vortrag mit dem Titel "Adaptive Wavelet Methods for Variational Formulations of Nonlinear Elliptic Partial Differential Equations (PDEs) on Tensor-Product Domains" in Anlehnung an die Disseration von Dr. Roland Pabel.
- Am 9.11. hält Sandra Boschert einen Vortrag mit dem Titel "Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität - Mehrgitterverfahren mit kubischen Tensorprodukt-B-Splines"
- Am 13.11. hält Enis Sen einen Vortrag mit dem Titel "Numerische Ansätze zur Lösung der Black-Scholes-Barrenblatt Gleichung"
- Informationen und Scheinkriterien findet ihr hier.
- Die mögliche Abgabe von Aufgabe 6 vom 2. Übungszettel wird bis Freitag vor Beginn der Vorlesung (27.11., 12:00 Uhr) verlängert! Wer bereits abgegeben hat, aber eine überarbeitete Version abgeben möchte, kann dies auch bis Freitag machen.
- Die Einteilung in die verschiedenen Projekte finden Sie hier. Da von (mindestens) drei Leuten die Matrikelnummer fehlt, tauchen diese nicht in der Liste auf. Wer also nicht in der List ist, aber ein Projekt zugewiesen bekommen möchte, schreibt bitte eine Mail an cmollet@math.uni-koeln.de. Setzt euch bitte selbstständig mit euren Projektmitgliedern in Verbindung. Die einzelnen Projekttitel findet ihr unter den Materialien unten.
- Bei Aufgabe 9 fehlen die Randbedingungen V(a)=V(b)=0. Eine aufdatierte Version ist nun online.
- Aus Datenschutzgründen müsst ihr keine Ausweiskopie per Mail verschicken. Weitere Informationen wie ihr Zugang zum Code bekommt, werden wir hier auf der Homepage angeben.
- In Aufgabe 12 ist ein Tippfehler. Vor dem ersten Term von Theta fehlt ein Minuszeichen. Eine aufdatierte Version is online.
- Den Code bekommt ihr ab sofort gegen Vorlage eines Ausweises bei mir im Büro (Christian Mollet, Gyrhofstr. 8b über Außentreppe).
- Das Problem mit dem Boost Paket für den Programmcode wurde behoben. Samuel Leweke hat die Fehler gefixed und dazu einen Patch geschrieben, der den Fehler mit der Boost Version 1.58 beheben sollte. Den Patch könnt ihr (vor dem kompilieren des Codes) mit dem Befehl "patch -p1 < boostfix.patch" einpflegen (über die Konsole im Hauptverzeichnis, wo die Datei 'boostfix.patch' liegt). Auf den Rechnern im MI findet ihr
einen neueren Compiler sowie cmake unter "/opt/hbrew006/inst/bin",
die aktuellen Boost Dateinen/Library unter "/opt/hbrew006/inst/include",
sowie Eigen2 unter "/opt/hbrew006/inst/include/eigen2". - Auf Blatt 6 ist ein kleiner Tippfehler. Der Betrag um das alpha muss bei dem Vorfaktor (-1) stehen und nicht als Exponent bzgl der Ableitung D. Eine aufdatierte Version ist online.
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Termine:
- 07.01.: Projekt 1, Projekt 2a) und ggf. Projekt 2b)
- 08.01.: Ggf. Projekt 2 b), Projekt 3 a) und ggf. Projekt 3 b
Die Präsentation der Projekte sollte circa 30 Minuten betragen. Außerdem sollte jede Präsentation Ergebnisse enthalten, die durch den bereitgestellten Code erzeugt wurden bzw. direkt reproduziert werden. Achten Sie auf eine richtige Zitierung des Codes.