VeranstalterInnen:  Prof. Dr. Angela Kunoth, Anna Weller

Termin: Dienstag, 10:00 Uhr - 11:30 Uhr, Seminarrraum 2 Mathematik (Raum 204)

Inhalt: Graphen und Netzwerke sind in den vergangen Jahren immer beliebter geworden, um verschiedenste komplexe Vorgänge aus der Physik, den Ingenieurwissenschaften, der Biologie usw. zu simulieren. So treten im Rahmen eines aktuellen Forschungsprojektes unserer AG bei der Modellierung der Ausbreitung von erkrankten Proteinen im Gehirn von Alzheimerpatienten beispielsweise Diffusions- und Transportprobleme auf Netzwerken auf. Wir werden im Seminar die Themen der Vorlesung  partieller Differentialgleichungen vertiefen und uns hierzu speziell mit partiellen Differentialgleichungen auf metrischen Graphen befassen. Die Themenblöcke können wie folgt umrissen werden:

• metrische Graphen sind im Unterschied zu kombinatorischen Graphen, die die meisten aus der Graphentheorie kennen, geometrische Objekte. Stattet man diese mit einem selbst-adjungierten Differentialoperator aus, spricht man auch von Quantum Graphs. Im ersten Themenblock werden wir uns mit den theoretischen Grundlagen von Quantum Graphs beschäftigen und numerische Verfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen auf metrischen Graphen diskutieren.

• im zweiten Block behandeln wir als ersten Ansatz zur Lösung partieller Differentialgleichungen auf Graphen verschiedene Finite Differenzen Verfahren. Wir starten mit kombinatorischen Graphen, die natürlicherweise in diskreter Form vor liegen und wenden diese Methoden dann auf diskretisierte metrische Graphen an.

• im dritten Block beschäftigen wir uns dann mit Finite Elemente Methoden für elliptische und parabolische Probleme auf Netzwerken. Neben der räumlichen Diskretisierung mit linearen Finiten Elementen studieren wir hierbei insbesondere die effiziente Lösung des entstehenden Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen.

• zuletzt werden die im ersten Block analysierten Eigenwertprobleme nutzen, um ein spektrales Galerkinverfahren zur Lösung von Reaktions-Diffusions Gleichungen auf metrischen Graphen zu diskutieren.

Je nach Vorkenntnissen und Interessen werden theoretische oder praktische Themen (Anwendung von Programmen in python oder Erstellung eigener Programme in julia oder python) vergeben, idealerweise in Gruppen zu zweit.

Literatur:

• P. Kuchment, G. Berkolaiko, Introduction to Quantum Graphs, American Mathematical Soc., 2013, ISBN 0821892118

• M. Arioli, M. Benzi, A finite element method for quantum graphs, IMA Journal of Numerical Analysis, Volume 38, Issue 3, July 2018, Pages 1119–1163, https://doi.org/10.1093/imanum/drx029

Ziel eines Seminars:
Man soll eigenständig (mit Hilfestellung) vertiefende Themen bearbeiten und anderen darstellen. Somit soll wissenschaftliches Arbeiten gelernt werden. Aufgrund der Neuartigkeit der Thematik sind in der Regel Originalveröffentlichungen auf Englisch zu lesen und zu verstehen. Viele Themen eignen sich für eine nachfolgende Bachelorarbeit, für die bei mir ein erfolgreicher Abschluss eines meiner Seminare vorausgesetzt wird.

Organisatorisches:
Für einen erfolgreichen Abschluss ist ein Beamervortrag von max 30 Min mit max 15 Folien zu dem jeweiligen Thema zu halten. (In welcher Form dies stattfinden wird, ist zu diesem Zeitpunkt noch nicht klar). Anschließend ist eine schriftliche Ausarbeitung in Latex abzufassen, die von uns einmal korrigiert wird. Latex-Vorlagen für den Vortrag und die Ausarbeitung werden bereitgestellt. Die Note ergibt sich aus der Gesamtleistung.

Verbindliche Anmeldung/Vorkenntnisse:
Bitte füllen Sie die folgende Maske aus und senden Sie diese zwischen Freitag, dem 28.01.,0:00 und Mittwoch, dem 02.02., 24:00, per E-Mail an weller@math.uni-koeln.de

Name, Vorname (m/w/d):
Matr.-Nr.:
E-Mail-Adresse:
Studienfach mit Nebenfach:
Bachelor/Master:
Semesterzahl:
Bereits besuchte Veranstaltungen (mit Dozentennamen):
Themen bereits absolvierter Seminare/Bachelorarbeitsthema:
Themeninteresse (eher theoretisch, eher praktisch, beides):
Zusammenarbeit mit:
Weitere Bemerkungen (z.B. Interesse an nachfolgender Bachelorarbeit):